Question

13．已知数列{a_n}中，a₁=4且${a_n}=3{a_{n-1}}+{3^n}-2（n≥2，n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）证明：数列$\left\{{\frac{{{a_n}-1}}{3^n}}\right\}$为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对${a_n}=3{a_{n-1}}+{3^n}-2$两边同时减1、然后同时除以3ⁿ，整理可知$\frac{{{a_n}-1}}{{3{\;}^n}}-\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{3^{n-1}}}}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，进而可知数列$\left\{{\frac{{{a_n}-1}}{3^n}}\right\}$是首项、公差均为1的等差数列；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）知${a_n}-1=n•{3^n}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵${a_n}=3{a_{n-1}}+{3^n}-2$，
∴${a_n}-1=3{a_{n-1}}+{3^n}-3=3（{a_{n-1}}-1）+{3^n}$，
∴$\frac{{{a_n}-1}}{{3{\;}^n}}=\frac{{3（{a_{n-1}}-1）+{3^n}}}{3^n}=\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{3^{n-1}}}}+1$，
∴$\frac{{{a_n}-1}}{{3{\;}^n}}-\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{3^{n-1}}}}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，
又∵$\frac{{a}_{1}-1}{{3}^{1}}$=$\frac{4-1}{3}$=1，
∴数列$\left\{{\frac{{{a_n}-1}}{3^n}}\right\}$是首项、公差均为1的等差数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：$\frac{{{a_n}-1}}{3^n}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a_n}-1=n•{3^n}$，
∴${S_n}=1×{3^1}+2×{3^2}+…+n•{3^n}$，
$3{S_n}=\;\;1×{3^2}+2×{3^3}+…+n•{3^{n+1}}$，
两式相减得：$2{S_n}=n•{3^{n+1}}-（{3^1}+{3^2}+…+{3^n}）$
=$n•{3^{n+1}}-\frac{{{3^n}×3-3}}{3-1}=n•{3^{n+1}}-\frac{{{3^{n+1}}}}{2}+\frac{3}{2}$，
∴${S_n}=\frac{{n•{3^{n+1}}}}{2}-\frac{{{3^{n+1}}}}{4}+\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．