Question

11．已知数列{a_n}的前N项和为S_n，且S_n=2-2a_n．
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_nS_n}的前n项之和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式求得首项，取n=n-1得到另一递推式，作差后可得{a_n}为公比是$\frac{2}{3}$的等比数列；
（2）直接由等比数列的通项公式得答案；
（3）把（2）中求得的通项公式代入{a_nS_n}，分组后利用等比数列的前n项和公式求解．

解答 证明：（1）由S_n=2-2a_n，得${a}_{1}=\frac{2}{3}$，
当n≥2时，S_n-1=2-2a_n-1 ，
两式作差得：3a_n=2a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$，
∴{a_n}为公比是$\frac{2}{3}$的等比数列；
解：（2）由（1）知，${a}_{1}=\frac{2}{3}，q=\frac{2}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{3}•（\frac{2}{3}）^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n}$；
（3）a_nS_n =${a}_{n}（2-2{a}_{n}）=2{a}_{n}-2{{a}_{n}}^{2}$=$2[（\frac{2}{3}）^{n}-（\frac{2}{3}）^{2n}]$，
∴T_n=$2[\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n}]$$-2[（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{4}+…+（\frac{2}{3}）^{2n}]$，
=2$•\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$$-2•\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{4}{9}）^{n}]}{1-\frac{4}{9}}$=$4-4（\frac{2}{3}）^{n}-\frac{8}{5}+\frac{8}{5}（\frac{2}{3}）^{2n}$=$\frac{12}{5}-4（\frac{2}{3}）^{n}+\frac{8}{5}（\frac{2}{3}）^{2n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和的求法，是中档题．