Question

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=$\sqrt{3}$，ccosB=（2a-b）cosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角C的大小；
（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出a+b的范围即可求△ABC的周长的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵ccosB=（2a-b）cosC=2acosC-bcosC，
∴ccosB+bcosC=2acosC，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
即sin（B+C）=2sinAcosC，
则sinA=2sinAcosC，
得cosC=$\frac{1}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵c²=a²+b²-2abcosCc=$\sqrt{3}$，
∴a²+b²-ab=3，
即（a+b）²=3ab+3，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²=3ab+3≤$\frac{3}{4}$（a+b）²+3，
得（a+b）²≤12，则a+b≤2$\sqrt{3}$，当且仅当a=b=$\sqrt{3}$时取等号，
∴△ABC的周长的最大值是3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强．