Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1＞a_n，a_n+1+a_n-2$\sqrt{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$=1（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a_n+1+a_n-2$\sqrt{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$=1（n∈N^*），a_n+1＞a_n，可得$（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）^{2}$=1，$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$=1，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1+a_n-2$\sqrt{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$=1（n∈N^*），a_n+1＞a_n，
∴$（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）^{2}$=1，
可得：$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\sqrt{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为1．
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=n²．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．