Question

4．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，则BC边上的中线AM长的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 分别在△ABM中和△ABM中应用余弦定理可得AM²=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{2}$-$\frac{3}{4}$，再在△ABC中由余弦定理和基本不等式可得3＜AB²+AC²≤6，由不等式的性质可得．

解答 解：∵在△ABC中A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，且BC边上的中线为AM，∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在△ABM中由余弦定理可得AB²=$\frac{3}{4}$+AM²-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×AM×cos∠AMB，①
同理在△ABM中由余弦定理可得AC²=$\frac{3}{4}$+AM²-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×AM×cos∠AMC=$\frac{3}{4}$+AM²+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×AM×cos∠AMB，②
①+②可得AM²=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{2}$-$\frac{3}{4}$，在△ABC中由余弦定理可得3=AB²+AC²-2•AB•ACcosA=AB²+AC²-AB•AC，
故AB²+AC²=3+AB•AC＞3，再由基本不等式可得3=AB²+AC²-AB•AC≥AB²+AC²-$\frac{1}{2}$（AB²+AC²），
∴3＜AB²+AC²≤6，故$\frac{3}{2}$＜$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{2}$≤3，∴$\frac{3}{4}$＜$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{2}$-$\frac{3}{4}$≤$\frac{9}{4}$，∴AM∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和基本不等式求值域，整体求解是解决问题的关键，属中档题．