Question

14．函数y=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的值域为（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• B． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． [0，1]
• D． [-$\sqrt{3}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由0≤x≤$\frac{π}{2}$和三角函数的值域可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得y=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）
=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-$\sqrt{3}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D

点评 本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式以及二倍角公式，属基础题．