Question

9．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n．S₃=a₂+10a₁，a₅=9，求
（1）数列{a_n}的通项公式a_n
（2）数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}是等比数列，a₁+a₂+a₃=a₂+10a₁，求得a₃=9a₁，求得q=3，a₁=$\frac{1}{9}$，即可求得等比数列的通项公式；
（2）根据等比数列的前n项和公式，写的S_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，由S₃=a₂+10a₁，
得a₁+a₂+a₃=a₂+10a₁，即a₃=9a₁，
整理得q²=9，q=3
∵a₅=a₁•q⁴=9，即81a₁=9，
∴a₁=$\frac{1}{9}$，
${a_n}=\frac{1}{9}×{3^{n-1}}={3^{n-3}}$，
${a}_{n}={3}^{n-2}$；
（2）${s_n}=\frac{{\frac{1}{9}（1-{3^n}）}}{1-3}=\frac{1}{2}×{3^{n-2}}-\frac{1}{18}$，
∴${S}_{n}=\frac{{3}^{n-2}}{2}-\frac{1}{18}$．

点评 本题考查求等比数列的通项公式和前n项和公式，要求学生熟练运用公式，属于基础题．