Question

1．设S_n是等差数列{a_n}的前n项的和，已知S₇=7，S₁₅=75，T_n为数列{|$\frac{{S}_{n}}{n}$|}的前n项的和，求T_n．

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式${S}_{n}=na+\frac{n（n+1）d}{2}$，再结合条件S₇=7，S₁₅=75进而可求出首项a₁和公差d，可求s_n，进而可求|$\frac{{S}_{n}}{n}$|，讨论当n≤5，T_n，n＞6，两种情况，结合等差数列的求和公式即可求解．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则${S}_{n}=na+\frac{n（n+1）d}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+21d=7}\\{15{a}_{1}+105d=75}\end{array}\right.$，解得：a₁=-2，d=1，
∴${S}_{n}=\frac{n（n-5）}{2}$，
|$\frac{{S}_{n}}{n}$|=|$\frac{n-5}{2}$|，
n≤5，|$\frac{{S}_{n}}{n}$|=-$\frac{n}{2}$+$\frac{5}{2}$，数列{|$\frac{{S}_{n}}{n}$|}是2为首项，-$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
T_n=$\frac{n（9-n）}{4}$=$\frac{9}{4}$n-$\frac{1}{4}$n，
T₅=5，
当n≥6，T_n=$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$+…$\frac{{S}_{5}}{{a}_{5}}$-$\frac{{S}_{6}}{{a}_{6}}$-…-$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$，
T_n=2T₅-T_n=$\frac{1}{4}$n²-$\frac{9}{4}$n+10，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}n-\frac{1}{4}{n}^{2}}&{n≤5}\\{\frac{1}{4}{n}^{2}-\frac{9}{4}n+10}&{n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了等差数列的前n 项和的求解，属常考题，较难．解题的关键是求出首项a₁和公差d以及熟记差数列的前n项和公式，讨论$\frac{{S}_{n}}{n}$＜0，n的取值，属于中档题．