Question

18．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，且a_n+2-2a_n+1+a_n=1，则$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$的最小值为1．

Answer 1

分析 化简a_n+2-2a_n+1+a_n=1可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=1，从而可得数列{a_n+1-a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列；从而解得a_n+1-a_n=1+（n-1）1=n，再累加法求其通项公式，从而解得．

解答 解：∵a_n+2-2a_n+1+a_n=1，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=1，
而a₂-a₁=2-1=1，
∴数列{a_n+1-a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列；
∴a_n+1-a_n=1+（n-1）1=n，
∴a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
…，
a_n-a_n-1=n-1，
∴a_n=1+2+3+…+（n-1）+1=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
∴a_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）＞0，
∴当n=2时，$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$有最小值，
即$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质，同时考查了整体思想与转化思想的应用及构造法的应用．