Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线3x-4y-5=0垂直，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线3x-4y-5=0互相垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线3x-4y-5=0互相垂直，
∴$\frac{3}{4}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，得到$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$．
∴双曲的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\frac{5}{3}$．
故选：C．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键．