Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²，数列{b_n}的每一项都有b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 由数列的前n项和求出数列的通项，判断出数列{a_n}的前5项为正值，自第6项起为负值，然后分类求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：由S_n=10n-n²，得a₁=9；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=10n-{n}^{2}-[10（n-1）-（n-1）^{2}]$
=11-2n，
由a_n≥0，得11-2n≥0，∴n$≤\frac{11}{2}$，
∴数列{a_n}的前5项为正值，自第6项起为负值，
则当n≤5时，${T}_{n}={S}_{n}=10n-{n}^{2}$；
当n≥6时，T_n=（b₁+b₂+…+b₅）-（b₆+b₇+…+b_n）
=2（b₁+b₂+…+b₅）-（b₁+b₂+…+b_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列求和，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．