Question

5．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，给出下面四个命题：
①不等式f（x）＞0恒成立；
②函数f（x）存在唯一零点x₀，且x₀∈（0，1）；
③方程f（x）=x有且仅有一个根；
④方程f（x）-f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x₀，且x₀∈（1，2）．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用换元法求出函数f（x）的解析式，然后根据函数与方程的关系进行转化，构造函数，判断函数的零点即可得到结论．

解答 解：对于①∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对?x∈（0，+∞），都有f（f（x）-lnx）=e+1，
∴设f（x）-lnx=t，则f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，
则t=e，
∴f（x）=lnx+e，
当f（x）＞0时，即lnx+e＞0，即-lnx＜e，即ln$\frac{1}{x}$＜lne^e，解得x＞$\frac{1}{{e}^{e}}$，故①错误；
对于②∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
f（0）＜0，f（1）=e＞0，
∴f（0）f（1）＜0，
∴函数f（x）存在唯一零点x₀，且x₀∈（0，1）；故②正确；
对于③∵f（x）=x，
∴lnx+e=x，
设g（x）=lnx+e-x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x=1时，g（x）_max=g（1）=e-1＞0，
∴g（x）=lnx+e-x在（1，+∞）上有两个零点，
∴方程f（x）=x有且两个根；故③错误；
对于④∵f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
则由f（x）-f′（x）=e+1得lnx+e-$\frac{1}{x}$=e+1，
即lnx-$\frac{1}{x}$-1=0，
设h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$-1，
∵h（x）在（0，+∞）单调递增，
则h（3）=ln3-$\frac{1}{3}$-1＜0，h（4）=ln4-$\frac{1}{4}$-1＞0，
∴函数h（x）在（3，4）上存在一个零点，即方程f（x）-f′（x）=e+1的实数解所在的区间是（3，4）；故④错误
故选：A．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数单调性的性质，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，涉及的知识点较多．