Question

16．已知递增等差数列{a_n}中a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{n（{a}_{n}+2）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过设数列{a_n}的公差为d（d＞0），利用${a_2}^2={a_1}{a_4}$计算可知d=2，进而利用等差数列的通项公式计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由a₁=2和a₁，a₂，a₄成等比数列，得${a_2}^2={a_1}{a_4}$，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得d=0（舍）或d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2n（n∈N^*）；
（2）由（1）可知${b_n}=\frac{2}{{n（{{a_n}+2}）}}$=$\frac{2}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．