Question

12．已知sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求证：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0．

Answer 1

分析 将sinA=-（sinB+sinC），cosA=-（cosB+cosC），代入同角三角函数的基本关系，sin²A+cos²A=1，化简整理得cos（B-C）=-$\frac{1}{2}$，根据二倍角公式，sin2A+sin2B+sin2C═2sin（B+C）[2cos（B-C）+1]，即可证明；利用二倍角将同理，cos2A+cos2B+cos2C=2cos²A-1+cos2B+cos2C，进一步化简得cos2A+cos2B+cos2C=-2cos（B+C）+2cos（B+C）-1+1，整理即可证明．

解答 证明：由sinA=-（sinB+sinC），cosA=-（cosB+cosC），
sin²A+cos²A=1，
∴（sinB+sinC）²+（cosB+cosC）²=1，
sin²B+2sinBsinC+sin²C+cos²B+2cosBcosC+cos²C=1，
2+2cos（B-C）=1
即cos（B-C）=-$\frac{1}{2}$，
sin2A+sin2B+sin2C=2（sinB+cosC）（cosB+cosC）+sin2B+sin2C，
=2[sin2B+sin2C+sin（B+C）]，
=2sin（B+C）[2cos（B-C）+1]
=0；
cos2A+cos2B+cos2C=2cos²A-1+cos2B+cos2C，
=2cos²B+2cos²C-1+4cosBcosC+cos2B+cos2C，
=2cos2B+2cos2C+4cosBcosC+1，
=4cos（B+C）cos（B-C）+2[cos（B+C）+cos（B-C）]+1，
=-2cos（B+C）+2cos（B+C）-1+1，
=0．

点评 本题考查同角的基本关系，两角和差的正余弦公式及二倍角公式，证明过程复杂，需要敏锐的观察能力，属于中档题．