Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n²-a_nS_n+a_n=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）求S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系、等差数列的定义即可证明；
（II）利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 证明：（Ⅰ）∵S_n²-a_nS_n+a_n=0（n≥2）．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
可得：${S}_{n}^{2}$-（S_n-S_n-1）S_n+S_n-S_n-1=0，
化为：S_n-1S_n+S_n-S_n-1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2．
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是以2为首项，以1为公差的等差数列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴S_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本小题主要考查a_n与S_n的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．