Question

2．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≤0}\\{x+y-7≤0}\\{x-1≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，则Z=$\frac{y+x}{x}$的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{14}{5}$，7]
• B． [4，7]
• C． [$\frac{14}{5}$，4]
• D． [7，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
Z=$\frac{y+x}{x}$=$\frac{y}{x}$+1
设k=$\frac{y}{x}$，在k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，得A（1，6），此时k=6，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$），
此时k=$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{9}{5}$，$\frac{9}{5}$≤k≤6，
则$\frac{14}{5}$≤k+1≤7，
即Z=$\frac{y+x}{x}$的取值范围为[$\frac{14}{5}$，7]，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合两点间的斜率公式进行转化求解是解决本题的关键．