Question

12．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2，将△BAO沿AO折起，使B点到达B′点．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；
（Ⅱ）当三棱锥B′-AOC的体积最大时，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）翻折前，由三线合一可知OA⊥BC，故翻折后OA⊥OB′，OA⊥OC，于是AO⊥平面B′OC；
（II）当OB⊥平面AOC时，三棱锥B′-AOC的体积最大，此时可证OC⊥平面AOB′，故∠CPO为CP与平面B′OA所成的角，利用直角三角形知识解出OP，与O到线段AB′的距离的范围比较即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB=AC，O是BC的中点，
∴AO⊥BO，AO⊥CO，即AO⊥B′O，
又CO∩B′O=O，B′O?平面B′OC，OC?平面B′OC，
∴AO⊥平面B′OC．
（Ⅱ）解：不存在．证明如下：
当面B′OA⊥面AOC时，三棱锥B′-AOC的体积最大．
∵面B′OA⊥面AOC，面B′OA∩面AOC=AO，OC⊥AO，OC?平面AOC，
∴CO⊥面B′OA，
∴∠CPO即为直线CP与平面B′OA所成的角，
在直角三角形CPO中，$CO=1，∠COP=\frac{π}{2}，sin∠CPO=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$CP=\frac{3}{{\sqrt{6}}}$，∴OP=$\sqrt{P{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△AOB′中，∠AOB′=90°，AB′=$\sqrt{O{A}^{2}+OB{′}^{2}}=\sqrt{5}$，设△AOB′的边AB′上的高为h，
则h=$\frac{OA•OB}{AB′}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
因为OP＜h，所以满足条件的点P不存在．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的做法与计算，属于中档题．