Question

7．已知公差大于零的等差数列{a_n}，各项均为正数的等比数列{b_n}，满足a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通过联立a₄=b₂、a₈=b₃，计算可知公差和公比，利用公式计算即得结论；
（2）通过（1）可知${c_n}=\frac{n}{2^n}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），
∵a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃，
∴1+3d=2q，1+7d=2q²，
解得：d=1，q=2，
∴a_n=n，${b_n}={2^n}$；
（2）证明：∵a_n=n，${b_n}={2^n}$，
∴${c_n}=\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
＜2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．