Question

10．已知等比数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S，且S₃=42，16a₂•a₆=a₃•a₇．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），由已知列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）}$，由T_n≥T₁证明不等式左边，再由裂项相消法证明右边．

解答 （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由S₃=42，16a₂•a₆=a₃•a₇，得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=42}\\{16{{a}_{1}}^{2}{q}^{6}={{a}_{1}}^{2}{q}^{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=4}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}=2•{4}^{n-1}={2}^{2n-1}$；
（2）证明：b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）}$
=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{2}^{2n-1}）•（lo{g}_{2}{2}^{2n+1}）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∵数列{$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$}的各项均为正数，
∴T_n≥${T}_{1}=\frac{1}{3}$；
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2（2n+1）}＜\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．