Question

20．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a-c=asinC，则sin$\frac{A-C}{2}$+sin$\frac{B}{2}$的值为1．

Answer 1

分析 a-c=asinC，利用正弦定理可得：sinA-sinC=sinAsinC，利用“和差化积”与“积化和差”及其A＞C，可得：sin$\frac{A-C}{2}$+cos$\frac{A+C}{2}$=1．即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵a-c=asinC，
∴sinA-sinC=sinAsinC，
∴$2cos\frac{A+C}{2}sin\frac{A-C}{2}$=-$\frac{1}{2}[cos（A+C）-cos（A-C）]$=$\frac{1}{2}[1-2si{n}^{2}\frac{A-C}{2}]$-$\frac{1}{2}[2co{s}^{2}\frac{A+C}{2}-1]$，
化为$（sin\frac{A-C}{2}+cos\frac{A+C}{2}）^{2}$=1，∵A＞C，
∴sin$\frac{A-C}{2}$+cos$\frac{A+C}{2}$=1．
则sin$\frac{A-C}{2}$+sin$\frac{B}{2}$=sin$\frac{A-C}{2}$+cos$\frac{A+C}{2}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了正弦定理、“和差化积”与“积化和差”、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．