Question

15．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+a₂=12，9a₃²=a₂•a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过联立a₁+a₁q=12、9$（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$=（a₁q）•（a₁q⁵），结合q＞0可知q=3、a₁=3，进而可得结论；
（2）通过（1）可知log₃a_n=n，利用等差数列的求和公式可知b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，进而裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₁+a₁q=12，9$（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$=（a₁q）•（a₁q⁵），
整理得：a₁+a₁q=12，q²=9，
又∵等比数列{a_n}的各项均为正数，
∴q=3，a₁=3，
∴a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知log₃a_n=log₃3ⁿ=n，
则b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n
=1+2+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故所求值为2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．