Question

15．给出下列4个命题，其中正确的个数是（　　）
①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；
②命题“?x＞0，x-lnx＞0”的否定是“?x＞0，x-lnx≤0”；
②“tanx＞0”是“sin2x＞0”的充要条件；
④计算：91⁹²除以100的余数是1．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用复合命题的真假判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误．二项式定理判断④的正误．

解答 解：①若“命题p∧q为真”，则p，q都为真命题，所以“命题p∨q为真”，故正确；
②命题“?x＞0，x-lnx＞0”的否定是“?x＞0，x-lnx≤0”，满足命题的否定形式，正确；
③“tanx＞0”可得x∈（kπ，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z；“sin2x＞0“可得2x∈（2kπ，2kπ+π），即x∈（kπ，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z；所以“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．正确；
④由于91⁹²=（100-9）⁹²=C₉₂⁰•100⁹²•（-9）⁰+…+C₉₂⁹¹•100¹•（-9）⁹¹+C₉₂⁹²•100⁰•（-9）⁹²，
在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故91⁹²除以100的余数等价于C₉₂⁹²•100⁰•（-9）⁹²=9⁹²除以100的余数，而9⁹²=（10-1）⁹²=C₉₂⁰•10⁹²•（-1）⁰+…+C₉₂⁹¹•10¹•（-1）⁹¹+C₉₂⁹²•10⁰•（-9）⁹²，故9⁹²除以100的余数等价于C₉₂⁹¹•10¹•（-1）⁹¹+C₉₂⁹²•10⁰•（-9）⁹²除以100的余数，而C₉₂⁹¹•10¹•（-1）⁹¹+C₉₂⁹²•10⁰•（-9）⁹²=-919=-10×100+81，故91⁹²除以100的余数是81．不正确．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，考查充要条件，命题的否定，二项式定理，属于中档题．