Question

20．如图所示，已知在五棱锥P-ABCDE底面ABCDE为凸五边形，AE=DC=2，AB=BC=3，DE=1，∠EAB=∠BCD=∠CDE=∠DEA=120°，F为AE上的点，且AF=$\frac{3}{2}$，平面PAE与底面ABCDE垂直．
求证：（1）BC∥平面PAE；（2）PA⊥FC．

Answer 1

分析 （1）欲证明BC∥平面PAE，只需推知BC∥AE即可；
（2）只需推知CF⊥平面PAE，即可证得PA⊥FC．

解答 证明：（1）如图，凸五边形ABCDE，延长AE、CD交于点H．
∵∠AED=∠EDC=120°，
∴∠HED=∠HDE=60°，∴△HED为等边三角形，
∠H=60°．
∴∠H+∠BCD=60°+120°=180°，
∴BC∥AE．
又∵AE?平面PAE，BC?平面PAE，
∴BC∥平面PAE；
（2）如图，连结AC．
∵△HED是等边三角形，
∴HE=HD=ED=1，
∴HC=HA=3．
又∵∠H=60°，
∴△HAC为等边三角形．
又∵AF=$\frac{1}{2}$AH，
∴CF⊥AE．
∵平面PAE⊥平面ABCDE，平面PAE∩平面ABCDE=AE，CF?平面ABCDE，
∴CF⊥平面PAE．
又∵PA?平面PAE，
∴PA⊥FC．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．