Question

10．函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-3}{{2}^{x}+3}$的值域为（-1，1）．

Answer 1

分析 由2^x＞0，求得2^x+3的范围，取倒数求得$\frac{1}{{2}^{x}+3}$的范围，两边同时乘以-1，得到$-\frac{1}{{2}^{x}+3}$的范围，进一步求得函数的值域．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}-3}{{2}^{x}+3}$=$\frac{{2}^{x}+3-6}{{2}^{x}+3}=1-\frac{6}{{2}^{x}+3}$，
∵2^x＞0，
∴2^x+3＞3，
则0$＜\frac{1}{{2}^{x}+3}＜\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{1}{3}＜-\frac{1}{{2}^{x}+3}＜0$，
则-2$＜-\frac{6}{{2}^{x}+3}＜0$，
∴f（x）∈（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．

点评 本题考查函数的值域，体现了极限思想方法的运用，是中档题．