Question

9．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与二次函数y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1的图象交于A（x₁，0）和B（x₂，1），则f（x）的解析式为（　　）

• A． f（x）=sin（$\frac{1}{6}$x+$\frac{π}{3}$）
• B． f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
• C． f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
• D． f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 利用二次函数求出A，B两点的坐标，根据正弦函数的性质得出f（x）的周期，代入特殊点B的坐标即可求出φ．

解答 解：把y=0代入二次函数y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1得x=1或x=-$\frac{2}{3}$．
由图象可知x₁＜0，∴A（-$\frac{2}{3}$，0）．
把y=1代入二次函数y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1得x=0或x=$\frac{1}{3}$．
由图象可得x₂＞0，∴B（$\frac{1}{3}$，1）．
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}=4×（\frac{1}{3}+\frac{2}{3}）$=4，解得ω=$\frac{π}{2}$．
把B（$\frac{1}{3}$，1）代入f（x）得sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，∴$\frac{π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}+$2kπ，
∴φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z．∵|φ|$＜\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=sin（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）的函数图象与性质，属于中档题．