Question

6．下列不等式成立的是（　　）

• A． 若a＞b＞0，则$\frac{b}{a}$＞$\frac{b+1}{a+1}$
• B． 若a＞b＞0，则lg$\frac{a+b}{2}$＜$\frac{lga+lgb}{2}$
• C． 若a＞b＞0，则a+$\frac{1}{b}$＞b+$\frac{1}{a}$
• D． 若a＞b＞0，则$\sqrt{a}-\sqrt{b}$＞$\sqrt{a-b}$

Answer 1

分析 A．作差即可判断出结论；
B．利用对数的运算性质、基本不等式的性质即可判断出结论；
C．作差即可判断出结论；
D．取a=2，b=1，可得$\sqrt{a}-\sqrt{b}$=$\sqrt{2}$-1＜$\sqrt{2-1}$=$\sqrt{a-b}$，即可判断出结论．

解答 解：A．a＞b＞0，则$\frac{b}{a}$-$\frac{b+1}{a+1}$=$\frac{b-a}{a（a+1）}$＜0，∴$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+1}{a+1}$，因此A不成立；
B．a＞b＞0，则lg$\frac{a+b}{2}$＞$lg\sqrt{ab}$=$\frac{lga+lgb}{2}$，因此B不成立；
C．a＞b＞0，则a+$\frac{1}{b}$-（b+$\frac{1}{a}$）=（a-b）$（1+\frac{1}{ab}）$＞0，因此正确；
D．a＞b＞0，则取a=2，b=1，则$\sqrt{a}-\sqrt{b}$=$\sqrt{2}$-1＜$\sqrt{2-1}$=$\sqrt{a-b}$，因此不成立．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、作差法比较两个数的大小方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．