Question

14．设函数f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1）．
（1）设a=10，F（x）=f（x）-g（x），若函数h（x）=F（x）-x一m在[0，$\frac{9}{11}$]上恒有零点，求实数m的取值范围：
（2）若关下x的方程${a}^{g（-{x}^{2}+x+1）}$=a^f（m）-x有两个不等实很，求实数m的范围：
（3）若a＞1且在x∈[0，1]时，f（m-2x）＞$\frac{1}{2}$g（x）恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）判定h（x）是定义域上的减函数，得h（x）是[0，$\frac{9}{11}$]上的减函数；由题意h（0）•h（$\frac{9}{11}$）＜0，从而求出m的取值范围．
（2）根据指数方程的性质，构造函数，结合一元二次函数根与判别式△之间的关系进行求解即可．
（3）将不等式进行转化，构造函数结合参数分离法求出函数的最值即可．

解答 解：∵f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，
∴$\frac{1-x}{1+x}$＞0，即-1＜x＜1；
又f′（x）=$\frac{1+x}{1-x}$×$\frac{1}{ln10}$×$\frac{-（1+x）-（1-x）}{{（1+x）}^{2}}$＜0，
∴f（x）是定义域上的减函数；
∴g（x）=f（x）-x-m在[0，$\frac{9}{11}$]上是减函数；
且g（0）=-m，g（$\frac{9}{11}$）=lg$\frac{1-\frac{9}{11}}{1+\frac{9}{11}}$-$\frac{9}{11}$-m=-1-$\frac{9}{11}$-m=-$\frac{20}{11}$-m；
由题意g（0）•g（$\frac{9}{11}$）＜0，
即（-m）•（-$\frac{20}{11}$-m）＜0，
解得-$\frac{20}{11}$＜m＜0；
∴m的取值范围是{m|-$\frac{20}{11}$＜m＜0}．
解：（1）a=10，F（x）=f（x）-g（x）=lg（1-x）-lg（1+x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，
∴$\frac{1-x}{1+x}$＞0，即-1＜x＜1；
又F′（x）=$\frac{1+x}{1-x}$×$\frac{1}{ln10}$×$\frac{-（1+x）-（1-x）}{{（1+x）}^{2}}$＜0，
F（x）是定义域上的减函数；
∴h（x）=f（x）-x-m在[0，$\frac{9}{11}$]上是减函数；
且g（0）=-m，h（$\frac{9}{11}$）=lg$\frac{1-\frac{9}{11}}{1+\frac{9}{11}}$-$\frac{9}{11}$-m=-1-$\frac{9}{11}$-m=-$\frac{20}{11}$-m；
由题意h（0）•h（$\frac{9}{11}$）＜0，
即（-m）•（-$\frac{20}{11}$-m）＜0，
解得-$\frac{20}{11}$＜m＜0；
∴m的取值范围是{m|-$\frac{20}{11}$＜m＜0}．
（2）g（-x²+x+1）=log_a（-x²+x+2），f（m）=log_a（1-m），
原方程有两个不等实根即-x²+x+2=1-m，有两个不等实根，
其中$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x+2＞0}\\{1-m＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
即x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有两个不等实根．
记h（x）=x²-2x-1-m，对称轴x=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＞0}\\{h（2）＞0}\\{△=4+4（1+m）＞0}\end{array}\right.$，解得-2＜m＜-1；
（3）f（m-2x）=log_a（1-m+2x），
即a＞1且x∈[0，1]时，log_a（1-m+2x）$\frac{1}{2}$log_a（1+x），恒成立，
∴x∈[0，1]有，$\left\{\begin{array}{l}{1-m+2x＞0，①}\\{1-m+2x＞\sqrt{1+x}，②}\end{array}\right.$恒成立，
由①得m＜1； 
令$\sqrt{1+x}$=t，（t∈[1，$\sqrt{2}$]），
∴由②得2t²-t-1＞m在t∈[1，$\sqrt{2}$]时恒成立，
记q（t）=2t²-t-1，
即q（t）_min＞m，∵q（t）_min=q（1）=0＞m，；
综上m＜0．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用参数分离法以及函数与方程之间的关系进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．