Question

3．已知{a_n}是等差数列，且a₁，a₂，a₅成等比数列，a₃+a₄=12．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅；
（2）设b_n=10-a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，若b₁≠b₂，则n为何值时，S_n最大？S_n最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）a₁，a₂，a₅成等比数列，（a₁+d）²=a₁ （a₁+4d），求得d的值，分类当d=0及d=2时，求得a₁，可求得a₁+a₂+a₃+a₄+a₅；
（2）根据b_n=10-a_n，求得b_n=11-2n，当n≤5时，b_n＞0，当n≥6时，b_n＜0，当n=5时，S_n最大．

解答 （1）设{a_n}的公差为d，∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴（a₁+d）²=a₁ （a₁+4d），∴d=0，或d=2，…（4分）
当d=0时，∵a₃+a₄=12，∴a₁=a₃=6，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=30，…（6分）
当d≠0时，∵a₃+a₄=12，∴a₁=1，d=2，…（8分）
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=25；
（2）∵b₁≠b₂，b_n=10-a_n，∴a₁≠a₂，∴d≠0，
∴b_n=10-a_n=10-（2n-1）=11-2n，…（12分）
当n≤5时，b_n＞0，当n≥6时，b_n＜0，
当n=5时，S_n最大，
S_n最大值是9+7+5+3+1=25…（16分）

点评 本题考查求等差数列的通项公式和前n项和公式，过程简单，属于中档题．