Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截圆M：（x-1）²+y²=1所得弦长为$\sqrt{3}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，运用弦长公式可得c=2b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：圆M：（x-1）²+y²=1的圆心为（1，0），半径为1，
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
即有圆心到渐近线的距离d=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{b}{c}$，
由弦长公式可得2$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
化为c=2b，由c²=a²+b²，
可得c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的连线的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查圆的弦长公式的运用，以及运算能力，属于中档题．