Question

2．已知等差数列{a_n}中，a₂=5，S₅=40．等比数列{b_n}中，b₁=3，b₄=81，
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式   
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项与求和公式，建立方程，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项；利用等比数列的通项公式，可求数列{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设公差为d，则由a₂=5，S₅=40，得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=5}\\{{a_1}+2d=8}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=3}\end{array}}\right.$，则a_n=3n-1…（4分）
（2）∵${q^3}=\frac{b_4}{b_1}=\frac{81}{3}=27$∴q=3${b_n}={b_1}{q^{n-1}}=3•{3^{n-1}}={3^n}$…（8分）
（3）${T_n}={c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}=2×3+5×{3^2}+8×{3^3}+…+（3n-1）{3^n}$①
∴$3{T_n}=2×{3^2}+5×{3^3}+8×{3^4}+…+（3n-1）{3^{n+1}}$②
①-②：$-2{T_n}=2×3+3（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）-（3n-1）{3^{n+1}}$
∴${T_n}=\frac{{（6n-5）{3^{n+1}}+15}}{4}$…（14分）

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，确定数列的通项是关键．