Question

5．已知{$\frac{f（n）}{n}$}是等差数列，f（1）=2，f（2）=6，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），a₁=1，数列{$\frac{1}{1+{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=1．

Answer 1

分析 由{$\frac{f（n）}{n}$}是等差数列，f（1）=2，f（2）=6，可得：公差d=$\frac{f（2）}{2}-\frac{f（1）}{1}$=1．可得：f（n）=n（n+1）．根据：数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），a₁=1，可得：a_n+1=a_n×（a_n+1），变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵{$\frac{f（n）}{n}$}是等差数列，f（1）=2，f（2）=6，
∴公差d=$\frac{f（2）}{2}-\frac{f（1）}{1}$=3-2=1．
∴$\frac{f（n）}{n}$=2+（n-1）=n+1．
∴f（n）=n（n+1）．
∵数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），a₁=1，
∴a_n+1=a_n×（a_n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴数列{$\frac{1}{1+{a}_{n}}$}的前n项和为S_n=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$=1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
则S₂₀₁₅+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、取倒数方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．