Question

1．S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞0，$\frac{{{a_n}+1}}{2}=\sqrt{S_n}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\frac{{{a_n}+1}}{2}=\sqrt{S_n}$化为$a_n^2+2{a_n}+1=4{S_n}$，再利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）设$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$前n项和为T_n，由（Ⅰ）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n-1}{2^n}$，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{{{a_n}+1}}{2}=\sqrt{S_n}$化为$a_n^2+2{a_n}+1=4{S_n}$，可知$a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}+1=4{S_{n+1}}$，
可得$a_{n+1}^2-{a_n}^2+2（{a_{n+1}}-{a_n}）=4{a_{n+1}}$，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
由于a_n＞0，可得a_n+1-a_n=2，
又$a_1^2+2{a_1}+1=4{a_1}$，解得a₁=1，
∴{a_n}是首项是1，公差是2的等差数列，通项公式是a_n=2n-1．
（Ⅱ）设$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$前n项和为T_n，由（Ⅰ）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n-1}{2^n}$，
则${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
即$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{{\frac{2}{2^2}-\frac{2}{2^n}•\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
所以${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．