Question

13．在正四面体ABCD中，E是BC边的中点，则AE与BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 作AO⊥平面BCD，交平面BCD于点O，取BD中点F，以O为原点，OF为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与BD所成角的余弦值．

解答 解：作AO⊥平面BCD，交平面BCD于点O，取BD中点F，
以O为原点，OF为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
设正四面体ABCD的棱长为2，则A（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），D（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设AE与BD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
∴AE与BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．