Question

18．已知二次函数f（x）=cx²-4x+a+1的值域是[1，+∞），则$\frac{1}{a}+\frac{9}{c}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 判断抛物线的开口方向，利用二次函数的最小值，推出a，c的关系式，然后利用基本不等式即可求解最值．

解答 解：∵二次函数f（x）=cx²-4x+a+1的值域是[1，+∞），开口向上，
∴c＞0且$\frac{4c（a+1）-16}{4c}$=1，即ac=4；
∴a＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{c}$≥2$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{9}{c}}$=3，当且仅当$\frac{1}{a}$=$\frac{9}{c}$时取等号，
又ac=4，c=6，a=$\frac{2}{3}$；
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{c}$的最小值为3．
故选：C．

点评 本题主要考查了二次函数的性质的应用，基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用．