Question

3．数列{a_n}满足${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_{n+1}}=a_n^2-{a_n}+1$，则$T=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$的整数部分是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意可知，a_n+1-1=a_n（a_n-1）从而得到$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}}$，通过累加得：m=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$=2-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$，a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$≥0，a_n+1≥a_n，可得：a₂₀₁₇≥a₂₀₁₆≥a₃≥2，$0＜\frac{1}{{a}_{2017}}＜1$，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．

解答 解：由题意可知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴m=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$═2-$\frac{1}{{a}_{2017}-1}$，
a_n+1-a_n=$（{a}_{n}-1）^{2}$≥0，a_n+1≥a_n，
∴a₂₀₁₇≥a₂₀₁₆≥a₃≥2，
$0＜\frac{1}{{a}_{2017}}＜1$，
1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．
故答案选：B．

点评 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．