Question

12．已知f（x）=x+xlnx，若存在实数m∈（2，+∞），使得f（m）≤k（m-2）成立，则整数k的最小取值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由所给不等式可以等价为新函数F（m）=m+mlnm-k（m-2），m＞2，F（m）＜0恒成立，对F（m）求导，由导函数得到极大值，只需要极大值小于0即可．

解答 解：∵存在实数m∈（2，+∞），使得f（m）≤k（m-2）成立，
∴题干等价于：当m＞2时，不等式m+mlnm≤k（m-2）恒成立，
∴记F（m）=m+mlnm-k（m-2），m＞2，即有F（m）＜0恒成立．
令F′（m）=0，解得m=e^k-2，
∴F（m）_max=F（m）_极大值=F（e^k-2）=2k-e^k-2，
当k=2时，F（m）_max=4-1＞0不合题意，
当k=3时，F（m）_max=6-e＞0不合题意，
当k=4时，F（m）_max=8-e²＞0不合题意，
当k=5时，F（m）_max=10-e³＜0合题意，
∴整数k的最小值为：5．
故选：C

点评 本题考查由所给不等式等价转化为新函数在m＞2时，F（m）＜0恒成立，对F（m）求导，由导函数得到极大值，只需要极大值小于0即可．