Question

2．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：

	第一周	第二周	第三周	第四周	第五周
A型数量（台）	11	10	15	A4	A5
B型数量（台）	10	12	13	B4	B5
C型数量（台）	15	8	12	C4	C5

（1）求A型空调前三周的平均周销售量；
（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C型空调周销售量的方差最小时，求C₄，C₅的值；
（注：方差s²=$\frac{1}{n}$[x₁-$\overline{x}$）²+（x${\;}_{2}-\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$为x₁，x₂，…，x_n的平均数）
（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据平均数公式计算即可，
（2）根据方差的定义可得S²=$\frac{1}{5}$[2（c₄-$\frac{15}{2}$）+$\frac{91}{2}$]，根据二次函数性质求出c₄=7或c₄=8时，S²取得最小值，
（3）依题意，随机变量 的可能取值为 0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．

解答 解：（1）A型空调前三周的平均周销售量$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（11+10+15）=12台，
（2）因为C型空调平均周销量为10台，
所以c₄+c₅=10×15-15-8-12=15，
又S²=$\frac{1}{5}$[（15-10）²+（8-10）²+（12-10）²+（c₄-10）²+（c₅-10）²]，
化简得到S²=$\frac{1}{5}$[2（c₄-$\frac{15}{2}$）+$\frac{91}{2}$]，
因为c₄∈N，
所以c₄=7或c₄=8时，S²取得最小值，
此时C₅=8或C₅=7，
（3）依题意，随机变量 的可能取值为 0，1，2，
P（X=0）=$\frac{20}{30}$×$\frac{25}{40}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=1）=$\frac{10}{30}$×$\frac{25}{40}$+$\frac{20}{30}$×$\frac{15}{40}$=$\frac{11}{24}$，
P（X=2）=$\frac{10}{30}$×$\frac{15}{40}$=$\frac{1}{8}$，
随机变量的X的分布列，

X	0	1	2
P	$\frac{5}{12}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{8}$

随机变量的期望E（X）=0×$\frac{5}{12}$+1×$\frac{11}{24}$+2×$\frac{1}{8}$=$\frac{17}{24}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．