Question

1．设函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的值为1008$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据课本中推导等差数列前n项和的公式的方法-倒序相加法，观察所求式子的特点，应先求f（x）+f（1-x）的值，从而求出即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
∴f（x）+f（1-x）
=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$
=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{x}}{2+\sqrt{2}{•2}^{x}}$
=$\frac{{2}^{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}{（2}^{x}+\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即 f（-2015）+f（2016）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
f（-2014）+f（2015）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
f（-2013）+f（2014）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
…，
f（-2）+f（3）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
f（-1）+f（2）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
f（0）+f（1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）=2016×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1008$\sqrt{2}$，
故答案为：1008$\sqrt{2}$．

点评 本题为规律性的题目，要善于观察式子的特点，并且此题给出了明确的方法，从而降低了本题难度．