Question

20．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₃=a₂+2a₁，且a₃+1是a₂与a₄的等差中项
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{a_n}+{log_2}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公比，即可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{a_n}+{log_2}{a_n}$的表达式，然后利用分组求和求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₃=a₂+2a₁，可得：q²-q-2=0，解得q=2．
a₃+1是a₂与a₄的等差中项，可得2（a₃+1）=a₂+a₄．即2（4a₁+1）=2a₁+8a₁．
解得a₁=1．
{a_n}的通项公式；a_n=2^n-1．
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{a_n}+{log_2}{a_n}$=2^1-n+n-1，
数列{b_n}的前n项和T_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）+（1+2+3+4+…+（n-1））
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{（n-1）•n}{2}$
=$\frac{n（n-1）}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}+2$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的通项公式以及前n项和的求法，考查计算能力．