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    5．在求函数y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}+a}（a＞0）$的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}+a}={x}^{2}+a+\frac{1}{{x}^{2}+a}-a≥2\sqrt{（{x}^{2}+a）\frac{1}{{x}^{2}+a}}$-a=2-a．
    因此函数y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}+a}$的最小值为2-a．
    若该同学的解法正确，则a的取值范围是（0，1]．

    分析 由不等式求最值等号成立的条件求得a的取值范围．

    解答 解：∵a＞0，
    ∴y=x2+$\frac{1}{{x}^{2}+a}={x}^{2}+a+\frac{1}{{x}^{2}+a}-a≥2\sqrt{（{x}^{2}+a）\frac{1}{{x}^{2}+a}}$-a=2-a，
    当且仅当${x}^{2}+a=\frac{1}{{x}^{2}+a}$有实数解时上式等号成立，
    则x2+a=1有实数解，即x2=1-a有实数解，
    ∴1-a≥0，即a≤1，
    又a＞0，
    ∴a的取值范围是（0，1]．
    故答案为：（0，1]．

    点评 本题考查基本不等式，训练了利用基本不等式求最值得方法，关键是明确利用基本不等式求最值的条件，是中档题．

    练习册系列答案
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