Question

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a₅-S₄=2，3a₂+a₆=32．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记${T_n}=\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4}+…+\frac{a_n}{2^n}，n∈{N_+}$，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列的{a_n}首项为a₁，公差为d，
由2a₅-S₄=2，3a₂+a₆=32，可知：$\left\{\begin{array}{l}2（{a_1}+4d）-（4{a_1}+\frac{4×3}{2}d）=2\\ 3（{a_1}+d）+（{a_1}+5d）=32\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=3．
∴a_n=3n-1．
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{3n-1}{2^n}$，
$\begin{array}{l}∴{S_n}=\frac{2}{2}+\frac{5}{2^2}+\frac{8}{2^3}+…+\frac{3n-1}{2^n}\\ \frac{1}{2}{S_n}={\;}\frac{2}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{3n-4}{2^n}+\frac{3n-1}{{{2^{n+1}}}}\end{array}$
相减得$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{3}{2^n}-\frac{3n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{{\frac{3}{4}[1-{{（{\frac{1}{2}}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{3n-1}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{5}{2}-\frac{3n+5}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${S_n}=5-\frac{{3n{+}5}}{2^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．