Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=0，4S_n=1-a_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过4S_n=1-a_n+1与4S_n-1=1-a_n作差，整理可知a_n+1=-3a_n，验证当n=1时是否成立即可；
（2）通过（1）可知b_n=（-1）ⁿ2（n-1），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵4S_n=1-a_n+1，
∴当n≥2时，4S_n-1=1-a_n，
两式相减得：4a_n=a_n-a_n+1，即a_n+1=-3a_n，
又∵a₁=0，4S_n=1-a_n+1，
∴a₂=1-4a₁=1不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{（-3）^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知a_2n=（-3）^2n-2=3^2n-2，
∴b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n=（-1）ⁿlog₃3^2n-2=（-1）ⁿ2（n-1），
当n为奇数时，T_n=0+2-4+6+…-2（n-3）+2（n-2）-2（n-1）
=$\frac{n-1}{2}$×2-2（n-1）
=-n+1；
当n为偶数时，T_n=0+2-4+6+…+2（n-3）-2（n-2）+2（n-1）=$\frac{n}{2}$×2=n；
综上所述，数列{b_n}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-n+1，}&{n为奇数}\\{n，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．