Question

11．已知a+2b=1且b＞1，则$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$的取值范围是（-2，1-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 化简$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{1-2b}$+$\frac{1}{b}$-2，再令f（x）=$\frac{1}{1-2x}$+$\frac{1}{x}$-2，x＞1；从而求导判断函数的单调性，从而求取值范围．

解答 解：∵a+2b=1且b＞1，
∴a=1-2b，
$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{1-2b}$+$\frac{1-2b}{b}$=$\frac{1}{1-2b}$+$\frac{1}{b}$-2，
令f（x）=$\frac{1}{1-2x}$+$\frac{1}{x}$-2，x＞1；
则f′（x）=$\frac{2}{（1-2x）^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{1-2x}$+$\frac{1}{x}$）（$\frac{\sqrt{2}}{1-2x}$-$\frac{1}{x}$），
=（$\frac{1}{x}$+$\frac{\sqrt{2}}{2x-1}$）$\frac{1-（2-\sqrt{2}）x}{x（2x-1）}$，
又∵x＞1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{\sqrt{2}}{2x-1}$＞0，x（2x-1）＞0；
∴当1-（2-$\sqrt{2}$）x＞0，即1＜x＜$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$时，f（x）为增函数；
当1-（2-$\sqrt{2}$）x＜0，即x＞$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$时，f（x）为减函数；
且$\underset{lim}{x→1}$f（x）=-2，f（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）=1-2$\sqrt{2}$，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=-2，
故-2＜f（x）≤1-2$\sqrt{2}$；
故$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$的取值范围是（-2，1-2$\sqrt{2}$]；
故答案为：（-2，1-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了导数的综合应用及极限的定义的应用，同时考查了转化思想的应用及整体思想的应用，属于中档题．