Question

5．知函数f（x）=e^x-ax的图象在区间（-1，+∞）内与x轴没有交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{e}$，e）
• B． （-$\frac{1}{e}$，e）
• C． （-$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 化简可得函数y=e^x与y=ax的图象在区间（-1，+∞）内没有交点，从而利用数形结合的方法求解．

解答 解：∵函数f（x）=e^x-ax的图象在区间（-1，+∞）内与x轴没有交点，
∴函数y=e^x与y=ax的图象在区间（-1，+∞）内没有交点，
作函数y=e^x与y=ax的图象在区间（-1，+∞）内的图象如右图，
当直线y=ax过点B（-1，$\frac{1}{e}$）时，a=-$\frac{1}{e}$；
当直线y=ax与y=e^x相切时，设切点为A（x，e^x），
故e^x=$\frac{{e}^{x}}{x}$，解得，x=1；
故点A（1，e），
故a=e；
故实数a的取值范围是[-$\frac{1}{e}$，e），
故选：A．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想的应用，属于中档题．