Question

9．已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，且它们有一个公共的焦点（0，2），其中双曲线的一条渐近线为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，求三条曲线的标准方程．

Answer 1

分析 根据三个曲线的离心率以及离心率之间的关系，求出c=2，利用待定系数法进行求解即可．

解答 解：∵椭圆、抛物线、双曲线有一个公共的焦点（0，2），
∴它们的焦点都在y轴上，t因为双曲线的焦点在x轴上，故
设抛物线方程为x²=2py，
其中$\frac{p}{2}$=2，则p=4，
即抛物线方程为x²=8y，
设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0．b＞0），
则c=2，
∵它的一条渐近线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，∴$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即b=$\sqrt{3}a$，平方得b²=3a²=c²-a²，
即4a²=c²=4，则a²=1，
则a=1，b²=4-1=3，即双曲线方程为${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
则双曲线的离心率e=2，
∵椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，
设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$1（a₁＞b₁＞0），则c=2，e=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
则a₁=4，b₁²=4²-2²=12．
所以椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查圆锥曲线的方程，根据条件分别求出抛物线的p，以及双曲线和椭圆的a，b的值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．