Question

14．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，且4S₁，3S₂，2S₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=|2n-5|•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据4S₁，3S₂，2S₃成等差数列．根据等差中项6S₂=4S₁+2S₃，化简整理求得q=2，写出通项公式；
（Ⅱ）讨论当n=1、2时，求得T₁=6，T₂=10，写出前n项和，采用错位相减法求得T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵4S₁，3S₂，2S₃成等差数列，
∴6S₂=4S₁+2S₃，
即6（a₁+a₂）=4a₁+2（a₁+a₂+a₃），
则：a₃=2a₂，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）当n=1，2时，T₁=6，T₂=10，
当n≥3，T_n=10+1×2³+3×2⁴+…+（2n-5）•2ⁿ，
2T_n=20+1×2⁴+3×2⁵+…+（2n-7）×2ⁿ+（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=-10+8+2（2⁴+2⁵+…+2ⁿ）-（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
=-2+2×$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{n-3}）}{1-2}$-（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
=-34+（7-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=34-（7-2n）•2ⁿ⁺¹．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{6}&{n=1}\\{10}&{n=2}\\{34-（7-2n）•{2}^{n+1}}&{n≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题求等比数列的通项公式和采用错位相减法求前n项和，属于中档题．