Question

17．在△ABC中，D在线段BC上，△ABD是正三角形，且线段CD，AD，AC的长成等差数列．
（I）求△ABC最大内角的余弦值；
（Ⅱ）若△ACD的内切圆面积为3π，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由线段CD，AD，AC的长成等差数列，可得2AD=CD+AC．设AD=a，CD=x，AC=2a-x，∠CAD=θ，θ为锐角，由余弦定理可得：cosθ=$\frac{5a-4x}{4a-2x}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，cos（60°+θ）=$\frac{2a-3x}{2a-x}$，利用和差公式化为：9a²-30ax+25x²=0，解得x，即可得出．
（II）△ACD的内切圆面积为3π，设内切圆的半径为r．可得r=$\sqrt{3}$．利用$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$×3a=$\frac{1}{2}×a（2a-\frac{3}{5}a）$sinθ，解得a．△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．

解答 解：（I）∵线段CD，AD，AC的长成等差数列，∴2AD=CD+AC．
设AD=a，CD=x，AC=2a-x，∠CAD=θ，θ为锐角，
由余弦定理可得：cosθ=$\frac{{a}^{2}+（2a-x）^{2}-{x}^{2}}{2a（2a-x）}$=$\frac{5a-4x}{4a-2x}$，∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{（9a-6x）（2x-a）}}{4a-2x}$，
cos（60°+θ）=$\frac{{a}^{2}+（2a-x）^{2}-（a+x）^{2}}{2a（2a-x）}$=$\frac{2a-3x}{2a-x}$，
∴$\frac{2a-3x}{2a-x}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5a-4x}{4a-2x}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{（9a-6x）（2x-a）}}{4a-2x}$，
化为：9a²-30ax+25x²=0，
解得x=$\frac{3}{5}$a．
∴cos（60°+θ）=$\frac{2a-3×\frac{3}{5}a}{2a-\frac{3}{5}a}$=$\frac{4}{7}$．
（II）∵△ACD的内切圆面积为3π，设内切圆的半径为r．
∴πr²=3π，解得r=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$×3a=$\frac{1}{2}×a（2a-\frac{3}{5}a）$sinθ，
∴$3\sqrt{3}$=$\frac{7}{5}$a×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
解得a=30．
∴△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×3{0}^{2}$=225$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、三角形内切圆的面积、等边三角形的性质及其面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．