Question

8．某做酱菜的师傅通常用半径为1米的扇形铁皮制成一个圆锥形的盖，用来盖酱菜缸，则酱菜缸盖的最大体积为$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．

Answer 1

分析 设圆锥底面半径为r，用r表示出圆锥的高，得出体积关于r的函数，利用导数求出此函数的最大值．

解答 解：设酱菜缸盖的底面半径为r，则酱菜缸盖的盖为h=$\sqrt{1-{r}^{2}}$．（0＜r＜1）．
∴酱菜缸盖的体积V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π{r}^{2}\sqrt{1-{r}^{2}}$=$\frac{1}{3}π$$\sqrt{{r}^{4}-{r}^{6}}$．
令f（r）=r⁴-r⁶，则f′（r）=4r³-6r⁵．
令f′（r）=0解得r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
当0$＜r＜\frac{\sqrt{6}}{3}$时，f′（r）＞0，当$\frac{\sqrt{6}}{3}＜r＜1$时，f′（r）＜0．
∴当r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，f（r）取得最大值f（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4}{27}$．
∴V的最大值为$\frac{1}{3}π×\sqrt{\frac{4}{27}}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，函数的最值，属于中档题．