Question

16．若f（x）的图象关于点（a，0），直线x=b对称，则f（x）一个周期为4|a-b|．

Answer 1

分析 由函数对称性可知f（x）=-f（2a-x），f（x）=f（2b-x），由x的任意性进行代换向函数周期的定义f（x）=f（x+T）转化，得出函数的周期．

解答 解：∵函数y=f （x）图象既关于点A （a，0）成中心对称，
∴f （x）=-f （2a-x），
∴f （2b-x）=-f[2a-（2b-x）]…（*）
又∵函数y=f （x）图象直线x=b成轴对称，
∴f （2b-x）=f （x），
∴f （x）=-f[2（a-b）+x]…（**），
令x=2（a-b）+x，得 f[2 （a-b）+x]=-f[4（a-b）+x]，
∴f （x）=f[4（a-b）+x]，
故y=f （x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期．

点评 本题考查了函数的对称性与函数周期的关系，利用x的任意性代换是解题关键．