Question

5．若（1+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，令f（n）=a₀+a₂+a₄+…+a_2n，则f（1）+f（2）+…+f（n）等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$（2ⁿ-1）
• B． $\frac{1}{6}$（2ⁿ-1）
• C． $\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）
• D． $\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）

Answer 1

分析 （1+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，分别令x=1，-1，可得a₀+a₂+a₄+…+a_2n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵（1+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，
∴2²ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_2n，
（1-1）²ⁿ=a₀-a₁+a₂+…+a_2n，
∴2（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）=2²ⁿ，
∴a₀+a₂+a₄+…+a_2n=2^2n-1=f（n），
则f（1）+f（2）+…+f（n）=2+2³+…+2^2n-1=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．